本書是根據(jù)工科碩士生的專業(yè)需求和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而編寫的數(shù)學(xué)物理方程教材。內(nèi)容包括偏微分方程的基本概念，數(shù)學(xué)物理方程相關(guān)的背景，數(shù)學(xué)模型的建立與定解問題，定解問題的典型求解方法（求通解方法、行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數(shù)法以及數(shù)值求解法）。另外還介紹了勒讓德多項(xiàng)式、球函數(shù)和貝塞爾函數(shù)在求解定解問題時(shí)的應(yīng)用。
本書模型導(dǎo)出過程詳細(xì)，與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程聯(lián)系緊密，突出應(yīng)用。本書可作為工科各專業(yè)高年級本科生、研究生的教材，也可作為工程技術(shù)人員的參考用書。

第二版前言
本書于2016年出版以來，經(jīng)過7年的教學(xué)實(shí)踐，在聽取讀者反饋的基礎(chǔ)上，本次修訂編者進(jìn)行了以下幾方面的修改。
（1）修正了第一版中的一些打印錯誤。
（2）在第1章引入了受力“方向角”的定義，并把該處理方法應(yīng)用到全書，該方法便于學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模過程，更好掌握課程內(nèi)容。
（3）第1章補(bǔ)充了多個(gè)自變量二階線性偏微分方程的分類。
（4）第5章在第一版中只介紹了具有軸對稱性的球函數(shù)，新版增補(bǔ)了一般球函數(shù)的內(nèi)容和應(yīng)用舉例，供有興趣的同學(xué)參閱。
（5）第6章增補(bǔ)了圓柱形區(qū)域內(nèi)如何利用分離變量法求解三維拉普拉斯方程、三維波動方程以及三維熱傳導(dǎo)方程的定解問題，討論了Helmholtz方程在球形區(qū)域內(nèi)的求解。
（6）第7章把求解有理函數(shù)的拉普拉斯逆變換與高等數(shù)學(xué)中的有理函數(shù)的不定積分求法對比，以此提高求有理函數(shù)拉普拉斯逆變換的速度。
另外，第二版在原有敘述的基礎(chǔ)上引入線性映射來定義線性微分方程；對偏微分方程的通解做了進(jìn)一步補(bǔ)充；完善了達(dá)朗貝爾公式的物理意義。
在此感謝北京化工大學(xué)研究生院對本教材的支持，正是在研究生院教改項(xiàng)目的資助下本書修訂版才得以完成和出版。本書的修訂也得到了國家自然科學(xué)基金的資助，借此表示感謝。門曰陽老師在內(nèi)容修改方面給我提出了許多建議，在此向他表示感謝?；瘜W(xué)工業(yè)出版社的編輯向我提供了許多支持、建議和鼓勵，在此表示感謝。
因水平有限，書中難免出現(xiàn)疏漏，繼續(xù)歡迎廣大讀者給予批評指正。

編者
2023年5月




前言
數(shù)學(xué)物理方程課程涉及的專業(yè)有：材料科學(xué)與工程、化學(xué)工程與技術(shù)、動力工程及工程熱物理、機(jī)械工程等近十個(gè)專業(yè)。目前數(shù)學(xué)物理方程的教材有很多，且各有特色。但是，隨著專業(yè)學(xué)位招生規(guī)模的不斷擴(kuò)大，迫切需要一本適合工科專業(yè)學(xué)位研究生的“數(shù)學(xué)物理方程”教材或參考書，以適應(yīng)新的教學(xué)需求。
工科數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)最直接的目標(biāo)是使學(xué)生能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決工程中的實(shí)際問題，并由此提升他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。鑒于此，我們應(yīng)該在實(shí)際教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生所學(xué)專業(yè)，多舉一些有實(shí)際背景的例子。為此，本書在以下五個(gè)方面做了一些嘗試，希望能以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)解決問題的能力。另外，本書的推導(dǎo)過程緊扣高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這樣學(xué)生更易理解。
本書特點(diǎn)如下。
（1）適當(dāng)減少數(shù)學(xué)的推導(dǎo)證明。過多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)會導(dǎo)致學(xué)生對該課程有恐懼感。大部分工科碩士生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)局限于高等數(shù)學(xué)，對于大篇幅的推導(dǎo)很不習(xí)慣，很排斥。過多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)會使學(xué)生降低甚至喪失學(xué)習(xí)興趣，因此，本書針對工科學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)刪除了不必要的證明。
（2）數(shù)學(xué)模型的導(dǎo)出更詳細(xì)。大部分的學(xué)生感興趣的是怎樣把具體問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。如果對導(dǎo)出過程講解不詳細(xì)，學(xué)生在應(yīng)用中遇到實(shí)際問題時(shí)，不會建立數(shù)學(xué)模型，這樣很難提出科學(xué)問題，因此，本書在應(yīng)用隔離物體法導(dǎo)出模型時(shí)，導(dǎo)出過程非常詳細(xì)。
（3）例題的求解過程更詳細(xì)。例題求解過程不詳細(xì)會直接導(dǎo)致多數(shù)同學(xué)覺得解題無從下手，沒有思路，不知如何計(jì)算，一算就錯。本書中所有例題的求解過程非常詳細(xì)，便于同學(xué)解題時(shí)參照。
（4）內(nèi)容排版重點(diǎn)醒目突出。數(shù)學(xué)物理方程的內(nèi)容多，同學(xué)課后看書抓不住重點(diǎn)，或找不到關(guān)鍵知識點(diǎn)，因此有必要在內(nèi)容排版時(shí)突出主要知識點(diǎn)，做到一目了然。本書把關(guān)鍵知識點(diǎn)，主要定理和主要公式都用邊框加陰影加以標(biāo)注。
（5）增加應(yīng)用舉例。根據(jù)選課學(xué)生的專業(yè)增加了一些應(yīng)用舉例，主要涉及材料工程、化學(xué)工程及信息與系統(tǒng)等方面的應(yīng)用。
另外，本書在每一章開頭列出了本章的基本要求，例題分析，并且求解運(yùn)算過程也非常詳細(xì)。每節(jié)后配有適量的習(xí)題，書后附參考答案和提示，便于讀者參照對比。貝塞爾函數(shù)比較抽象，為了便于讀者了解貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)，本書給出了一些貝塞爾函數(shù)的圖形。卷積在工程方面應(yīng)用很廣，因此，本書對于卷積的介紹比較多，并盡量用卷積表示定解問題的解。另外，為了同學(xué)在學(xué)習(xí)中查找方便，本書在附錄中不僅附有傅里葉變換表和拉普拉斯變換表，而且還附有常用的數(shù)學(xué)公式（附錄Ⅰ）、常微分方程中常用的重要結(jié)論（附錄Ⅱ）以及傅里葉級數(shù)的主要結(jié)論（附錄Ⅲ）。
特別感謝北京化工大學(xué)研究生院對本書的支持，正是在研究生院教改項(xiàng)目的資助下本書才得以完成和出版。黃晉陽教授在內(nèi)容組織上提出了許多建議，在此向他表示感謝。同時(shí)感謝我的研究生董利君同學(xué)，是他繪制了本書的所有插圖，并錄入了部分稿件內(nèi)容。

編者
2016年6月

第1章 數(shù)學(xué)物理方程及其定解問題 1
1.1波動方程及其定解問題3
1.1.1波動方程的導(dǎo)出3
1.1.2典型定解條件6
1.1.3典型定解問題11
習(xí)題1.112
1.2熱傳導(dǎo)方程及其定解問題13
1.2.1熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出13
1.2.2典型定解條件15
1.2.3典型定解問題17
1.2.4最值原理18
習(xí)題1.220
1.3位勢方程及其定解問題21
1.3.1位勢方程的導(dǎo)出21
1.3.2位勢方程的典型定解問題22
1.3.3最值原理23
習(xí)題1.324
1.4定解問題的適定性及數(shù)學(xué)物理方程的分類25
1.4.1定解問題的適定性概念25
1.4.2二階偏微分方程的分類25
習(xí)題1.428

第2章 線性偏微分方程的通解 29
2.1線性偏微分方程解的結(jié)構(gòu)定理29
習(xí)題2.130
2.2常系數(shù)線性齊次偏微分方程的通解31
習(xí)題2.232
2.3常系數(shù)線性非齊次偏微分方程的通解32
習(xí)題2.335

第3章 行波法 36
3.1一維波動問題與達(dá)朗貝爾公式36
3.1.1無界弦的自由振動36
3.1.2齊次化原理37
3.1.3無界弦的受迫振動38
3.1.4達(dá)朗貝爾公式的物理意義43
3.1.5依賴區(qū)間、決定區(qū)域、影響區(qū)域44
習(xí)題3.145
3.2空間波動問題47
3.2.1函數(shù)的球面對稱性47
3.2.2齊次波動問題的泊松公式47
3.2.3非齊次波動問題的Kirchhoff公式53
3.2.4波動問題解的物理意義56
習(xí)題3.257

第4章 分離變量法 59
4.1Sturm-Liouville本征值問題59
4.1.1第一邊值條件的本征值問題59
4.1.2混合邊值條件的本征值問題60
4.1.3各類本征值問題小結(jié)及級數(shù)展開61
習(xí)題4.162
4.2波動方程的定解問題63
4.2.1齊次方程的齊次邊值問題63
4.2.2級數(shù)形式解的物理意義66
4.2.3非齊次方程的齊次邊值問題68
4.2.4非齊次方程的第一非齊次邊值問題73
習(xí)題4.275
4.3熱傳導(dǎo)方程的定解問題76
4.3.1齊次方程的第二齊次邊值問題76
4.3.2非齊次方程的第二齊次邊值問題77
4.3.3非齊次邊值問題79
4.3.4混合邊值問題舉例81
習(xí)題4.384
4.4拉普拉斯方程的定解問題85
4.4.1圓域內(nèi)的第一邊值問題85
4.4.2矩形域內(nèi)的第一邊值問題88
習(xí)題4.491

第5章 勒讓德多項(xiàng)式、球函數(shù) 93
5.1勒讓德多項(xiàng)式93
5.1.1勒讓德方程及其本征值問題93
5.1.2勒讓德多項(xiàng)式93
5.1.3勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)與引力勢96
5.1.4勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)與勒讓德級數(shù)98
習(xí)題5.1102
5.2勒讓德多項(xiàng)式的應(yīng)用103
習(xí)題5.2108
5.3球函數(shù)、連帶勒讓德方程109
5.3.1球函數(shù)與連帶勒讓德函數(shù)109
5.3.2連帶勒讓德函數(shù)和球函數(shù)的基本性質(zhì)111
5.3.3球函數(shù)應(yīng)用舉例114
習(xí)題5.3116

第6章 貝塞爾函數(shù) 117
6.1推廣的Γ-函數(shù)117
6.2貝塞爾方程的導(dǎo)出118
6.3貝塞爾方程的通解與貝塞爾函數(shù)120
6.4貝塞爾級數(shù)展開124
6.4.1貝塞爾函數(shù)的恒等式124
6.4.2貝塞爾函數(shù)的正交性125
6.4.3貝塞爾級數(shù)展開126
6.5貝塞爾函數(shù)的應(yīng)用128
6.5.1圓形區(qū)域128
6.5.2圓柱形區(qū)域132
6.5.3球形區(qū)域135
習(xí)題6.5136

第7章 積分變換法 137
7.1傅里葉積分變換137
7.1.1傅里葉積分公式與傅里葉變換137
7.1.2傅里葉變換的基本性質(zhì)141
7.1.3卷積142
7.1.4多重傅里葉變換145
習(xí)題7.1146
7.2拉普拉斯變換146
7.2.1拉普拉斯變換的定義147
7.2.2存在定理及性質(zhì)148
7.2.3反演公式151
習(xí)題7.2157
7.3傅里葉變換和拉普拉斯變換的應(yīng)用158
7.3.1一般定解問題158
7.3.2拉普拉斯變換在化學(xué)反應(yīng)工程中的應(yīng)用165
7.3.3拉普拉斯變換在材料科學(xué)中的應(yīng)用170
習(xí)題7.3171

第8章 格林函數(shù)法 173
8.1δ-函數(shù)173
8.1.1δ-函數(shù)的定義173
8.1.2δ-函數(shù)的物理意義174
8.1.3廣義函數(shù)與δ-函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)175
8.1.4高維δ-函數(shù)178
8.1.5δ-函數(shù)的傅里葉變換和拉普拉斯變換178
8.1.6δ-函數(shù)及其傅里葉變換和卷積運(yùn)算在通信工程中的應(yīng)用180
習(xí)題8.1182
8.2格林公式及其應(yīng)用182
8.2.1格林公式183
8.2.2應(yīng)用舉例183
習(xí)題8.2184
8.3位勢問題的格林函數(shù)185
8.3.1格林函數(shù)的概念185
8.3.2位勢方程的第一邊值問題187
8.3.3用電像法求格林函數(shù)188
習(xí)題8.3191
8.4含時(shí)間問題的格林函數(shù)192
8.4.1波動方程的初值問題192
8.4.2熱傳導(dǎo)方程的初值問題196
習(xí)題8.4198

第9章 數(shù)值求解法 199
9.1波動方程的差分解法200
9.2熱傳導(dǎo)方程的差分解法201
9.3位勢方程的差分解法203
9.3.1同步迭代法204
9.3.2異步迭代法205
習(xí)題9.3207

附錄 208
附錄Ⅰ常用公式208
附錄Ⅱ線性常微分方程的通解214
附錄Ⅲ傅里葉級數(shù)216
附錄Ⅳ傅里葉變換表217
附錄Ⅴ拉普拉斯變換表218
部分習(xí)題參考答案221

參考文獻(xiàn)249